卡农图谱（卡农不是那个卡农）

由加入的各个不同声部分别唱出主题的“副本”。这样的演唱方式对于大部分的主题而言是难以和谐的。上式的含义即为“一个幅度为2，频率为的正弦信号由1个频率和1个频率构成”。一组典型的基函数为被称为morlet小波基函数。此外，由于morlet小波函数具有“绝对音准”，也是音乐信号处理的常用工具。

提到卡农（Canon），你们首先想到的可能是电影《我的野蛮女友》中全智贤弹奏的那一首《Canon in D》。这是一个普遍存在的误解，卡农并非某支曲子独有的名字，而是类似于绝句、律诗这样的格式，凡是满足这样格式的曲子，统统都称为卡农。

卡农曲的基本点是一个单一的主题与它自己相伴而奏。由加入的各个不同声部分别唱出主题的“副本”。做这种事可以有许多方式，最简单的一种实现方式是轮唱，像《保卫黄河》，第一个声部先唱出主题，隔一段时间后，这一主题的“副本”在完全一样的调上加入演奏，在规定的时间结束后，第三个声部再加入演奏，唱出主题，以此类推。这样的演唱方式对于大部分的主题而言是难以和谐的。所以，某一主题能成为卡农曲的主题，它的每个音符必须起到多种作用——首先它是主题旋律的一部分，其次它还与所有共同演奏的不同声部产生和声——即在一个包含三个声部的曲子里，主题的每个音符除了要构成曲调，还要与主题上的另外两个音符构成和声。下面提供一支世界著名的卡农曲，结合上文描述的卡农特征，帮助大家更为直观地认识什么是卡农。

作曲家们似乎觉得只在时间上将每个声部分开显得过于简单，所以还存在更为复杂的卡农曲。第一种复杂的卡农是：主题的各个“副本”不仅在时间上，同时在音高上互相交错。除音高外，各个声部的速度不同也构成另一种复杂变化。仅在音高和速率上创新是远远不够的，这群人类历史上璀璨的天才还创作出了主题转位式、螃蟹式卡农来体现自己的才华。

一个个音符在天才们的手中，就像砖石一样被修筑成了美轮美奂的城堡。如果说卡农曲是修筑的城堡，那么小波变换（WF）就是完美拆解这座城堡的方法。

傅里叶变换：科学中最常用的变换

在数学或者信息科学中，变换表示对同一对象的不同描述。我们可以说9个苹果，也可以说3斤6两苹果——这两种描述都是我提在手里的苹果数量——这可能是我们日产生活中最常用的变换。我们简单的称将1个苹果和1两苹果“相关性”为4，这样我们可以说“1个苹果由4个‘1两苹果’组成”，“1两”和“1斤”这样的字眼被称为这个变换的变换基（当然这么说可能不太准确，但是这样能帮助我们理解什么是变换）。

傅里叶变换是科学中最常用的变换，它用频率（序列的变换速率）来描述时间序列。

上式的含义即为“一个幅度为2，频率为

下面我们看几个简单的例子，下面三幅图的原始信号都包含频率为100Hz, 200Hz, 300Hz的三种正弦信号，但是从序列本身来看它们之间还是存在明显的差异。经过傅里叶变换转换至频域，我们看不到任何差异(这里我们只保留了正频率部分，因为负频率部分与其对称)。这是由于傅里叶变换所用到的“基”是无限长度上的周期函数，而图1和图2的信号都是有限长度的正弦信号，傅里叶变换并不能识别出这样信号的不同。

图一：信号1及其傅里叶变换

图二：信号2及其傅里叶变换

图三：信号3及其傅里叶变换

小波变换：科学家谱写的卡农曲

小波变换提供了新的思路，其基函数是在时域上有限的信号。一组典型的基函数为被称为morlet小波基函数。

图四：Morlet小波函数

不同于无限长的正弦函数，morlet的定义域是有限的。图四展示的基本morlet函数的解析式为：

现在我们为基本的morlet函数引入两个新的参数，表示信号缩放的和信号位移的：

当、满足一定的规则的时候，这样的函数可以通过组合构成任意的序列，这样的一组函数被称为小波函数簇。最基本的小波函数

图五：信号1及其小波变换

图六：信号2及其小波变换

图七：信号3及其小波变换

从图五至图七，很明显能看出某种频率的信号强度，以及其在什么时候开始，什么时候结束。这就完成了傅里叶变换不能做到的事情。当然小波变换还有许多复杂得多的理论，这里就不再展开。

结束语

回到卡农，最为理想的情况下，我们使用最初的卡农主题作为基本小波函数生成的小波函数簇，可以将卡农曲简单粗暴地解构成独立的若干个声部，同时还能知道这些声部什么时候加入演奏（通常来说这样的方法是不奏效的）。此外，由于morlet小波函数具有“绝对音准”，也是音乐信号处理的常用工具。

小波变换最初被应用在地震波信号的处理上，后来逐渐被其他领域借鉴。也许最初提出小波变换的法国科学家Jean Morlet(1931-2007)对卡农曲情有独钟，他在听到美妙的歌声时，想到了这个绝妙的点子。