每年的春节前夕，家家户户都会贴上窗花，以增点喜庆之气。由点对称操作组成的群，称为点群。下标数字代表具有几重旋转对称性，例如C2表示该群有两重旋转对称操作。如我们之前团花图案，D4表示该群有4重旋转对称操作，并且有4个镜面对称操作，相邻二面角相等。准晶体花样可以铺满整个平面，但是准晶体没有与晶体相同的的平移对称性。（D4群）用这个祝大家，年年发大财！
每年的春节前夕，
家家户户都会贴上窗花，
以增点喜庆之气。
今年疫情当头，
我们应注意防范，
减少聚众性活动，
串门拜年虽然减少，
但是云拜年，云祝福也一样让人开心，
没有不怎么熟悉的七大姨八大姑对我近况的盘问，
也没有我机智的斗智斗勇精彩辩驳，
感到少了点乐子，稍有点无聊。
无聊之际，窗花上花纹的规律让刚学完晶体学知识的小编突然有了灵感。作为古老的民间艺术，这种有规律、对称感的花纹，里面又有怎样的奥秘呢，我们是不是可以考虑将窗花根据对称性进行分类呢。
我们先看看一些具有地域特色的窗花剪纸[1]。
图 | 北京窗花剪纸 来源：中国剪纸新编
图 | 河北窗花剪纸 来源：中国剪纸新编
图 | 山西窗花剪纸 来源：中国剪纸新编
图 | 内蒙古窗花剪纸 来源：中国剪纸新编
上面的剪纸作品中你有没有看出什么共性呢。
图 | 用D4点群标记的团花
以上窗花图案中，可以用D4点群标记。D4点群中包含，一个四重旋转轴，4个镜面对称，这些话是什么意思，就让我卖个关子，我们来看后面的介绍。
对称性
对称性是指一个图案能够在经过一种变换操作后能够和原来的图案重合的性质。在晶体学的范畴里，我们可以将晶体根据对称性进行分类。在正交变换中（即没有缩放操作），对称操作的类型可以分为以下6种，分别有旋转 (rotation)，镜面对称(reflection)，旋转反演(improper rotation)，平移(translation)，滑移镜面(glide reflection) 和螺旋旋转(screw rotation)，旋转反演可以通过镜面对称 旋转连续操作而成，后两者滑移反映和螺旋旋转则分别由反射 旋转和平移 反射连续操作而成。[2]
图 | 图案对称性举例，(a) 为镜面对称的蝴蝶，(b) 为2重旋转对称的图案，(c) 为平移对称的花纹
在旋转对称的图形中，n重旋转对称性表示，每次旋转2π/n，都能和原来的图案重合。
如果考虑缩放，那么还可以有一种对称性，那就是分形（fractals）。
图 | 一种分型图形 来源：Tenor
（关于对称类型的介绍可以查看往期内容：什么是对称？）
在对称操作下固定不变的点、直线及平面称为对称元素，如图我们对一个立方体进行对称操作，可以发现所有的对称元素都经过体心。[3]
图 | 立方体中的对称元素（表示立方体中有3个四重旋转轴、4个三重旋转轴、6个二重旋转轴、1个反演对称中心、9个镜面对称面） 来源：2007 Thomson Higher Education
其中点对称操作，包括三种：旋转、镜面对称和旋转反演。这三种对称操作都可以保证空间中至少一点固定不动，所以称之为点对称操作。[3]
图 | 三种点式操作
当然我们在图中可以看到，在二维的范畴中，旋转反演其实就是180°的旋转，所以二维平面中体现不出旋转反演。
点群
群（group）表示一种集合，设有一个集合G≡{E,A,B,C,D……} 。每一个对称操作可以作为一个元素，一个系统拥有的全部对称操作可以组成一个对称群，每种对称操作是其中一个群元。由点对称操作组成的群，称为点群。
在晶体学三维空间中，我们可以将上述的点式对称操作做组合，一共可以组合出32种点群。进一步如果我们将非点式操作（平移）加进去，可以组合派生出230种空间群。然而在二维平面中，只能组合出10种点群。
图 | 二维中的十种晶体学点群 来源：what-is-symmetry
上图中的通用记号叫作Schoenflies记号，来自于德国数学家Arthur Moritz Schoenflies。
“C”代表“cyclic（循环）”。这些对象都有旋转对称性。下标数字代表具有几重旋转对称性，例如C2表示该群有两重旋转对称操作。
“D”代表“dihedral（二面角）”。这些对象同时具有镜面对称性和旋转对称性。下标数字表示它有几重旋转对称性，也就同时意味着有几条镜面对称线。如我们之前团花图案，D4表示该群有4重旋转对称操作，并且有4个镜面对称操作，相邻二面角相等。
准晶体
细心的大家可能发现了，之前的二维晶体学点群中唯独缺少 n=5 的情况，这是由于在晶体中存在平移对称性的约束。随着对晶体学的认知逐渐深入，英国著名的物理学家、数学家和哲学家Roger Penrose给出了可以用图形单元铺满空间，且图案具有5重旋转对称性的方案。我们将这种铺满的方式称为，Penrose拼接。
图 | 一种Penrose拼接[6]
准晶体，是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶体花样可以铺满整个平面，但是准晶体没有与晶体相同的的平移对称性。[5]因而可以具有晶体所不允许的宏观对称性，如5重旋转对称性。而具有5次转动对称性的三维有限尺寸的物体也是有的，如艾滋病病毒和云南的荷包。(准晶体的介绍可以查看往期内容：准晶体的前世今生)
好了，到现在为止，我们集齐了n=1,2,3,4,5,6重的旋转对称性！！
窗花中的对称性
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一。在隆重的节日里，农村就会在春节前在家里贴上“角花”和“团花”，以烘托节日的气氛。[7]我们看到之前的窗花其实可以看到，它们一般都是以高度的对称性为特点。
图 | 窗花饰样 来源：搜狐
相信聪明的大家已经从给出的窗花，还有前面的举例中看出了规律。窗花图案的对称操作的集合，其实就是以中心为不变点的点式操作组成的点群。
接下来我们从一些简单的剪纸图形出发，
来看看窗花剪纸中的对称规律。
其他的窗花太复杂了，
于是，不争气的我翻开了，
一本名叫《幼儿剪纸大全》[8]的书，
或许我们可以从这里看出一些规律。
它是这样子的。
（忽略红绿配色的标注）
图 | 图书封面 来源：幼儿剪纸大全
……
看到了吧，从现在开始请大家，忽略这幼稚的画风，多多关注其中的对称性。让我们开发智力和思维。
当然还有送给小伙伴们的祝福！
单独纹样
图 | 糖葫芦剪纸步骤 来源：幼儿剪纸大全
该过程第一步先将糖葫芦画出来，第二步再从纸上剪出来。这个糖葫芦没有看出来任何对称性，所以也就对应n=1重旋转对称。（C1群）
这个就是祝大家，团团圆圆！
对边折剪
图 | 小老鼠剪纸步骤 来源：幼儿剪纸大全
这个剪纸中的小老鼠，剪出步骤也是如图，中间增加了将纸对折的步骤1。这个图案具有的对称性就是镜面对称，镜面刚好就是折痕。（D1群）
祝大家，鼠年大吉！
还有我们常见的双喜图案。
图 | 双喜剪纸步骤 来源：幼儿剪纸大全
那这个就是祝大家，双喜临门吧！
三角折剪
图 | 三瓣花步骤 来源：幼儿剪纸大全
这个剪纸步骤中，从1-3的过程中，给三瓣花图案给出了3个镜面（折痕），由于在3步骤中保证了三个角度的等分，还创造出一个n=3重旋转轴。（D3群）
那这个就是祝大家，锦上添花！
四角折剪
图 | 古铜钱剪纸步骤 来源：幼儿剪纸大全
这个步骤中，从1-3步骤，给出4个折痕，步骤三同样保证了对折之后的图形4个角度的等分性，所以4有个镜面和，一个n=4重旋转轴。（D4群）
用这个祝大家，年年发大财！
五角折剪
图 | 五角星剪纸步骤 来源：幼儿剪纸大全
这个步骤中，从1-4步骤，给出5个折痕，步骤3-4保证了对折之后的图形5个角度的等分性，所以有5个镜面和，一个n=5重旋转轴。（D5群，晶体学中没有该群，但是根据对应的规律可以用这个符号来表示）
用这个祝大家，福星高照！
六角折剪
图 | 雪花剪纸步骤 来源：幼儿剪纸大全
这个步骤中，从1-4步骤，给出6个折痕，步骤3-4保证了对折之后的图形6个角度的等分性，所以有6个镜面和，一个n=6重旋转轴。（D6群）
用这个祝大家，冰雪聪明！
二方连续
图 | 热带鱼剪纸步骤 来源：幼儿剪纸大全
这个步骤中，第一个步骤给出n个折痕，所以有n个镜面，但是从这个展开的图形可以看出来这几个镜面是通过平移操作得到的，这是与前面的剪纸形状不一样的地方。（pm群，这个符号已经上升到了空间群，不再是点群，因为对称要素并不相交于一点了，这里可以参照参考文献中曹则贤老师的文章[4]）
关于这个剪纸就祝大家，年年有“鱼”！
总之，关于窗花的规律就先讲到这里吧，窗花剪纸中的规律还有好多呢，等待喜欢思考和善于发现的你去发现呢。
图 | 四方连续图案
比如四方连续的图案是水平和竖直方向上的二方连续组合而成。
除此之外，还可以由以上两种对称的组合，还有改变折痕的角度等等的变化。再搭配精细的剪裁手法，精美的窗花就可以完成了。
图 | 窗花剪纸步骤
是不是仿佛打开了窗花世界的大门？
由于疫情影响，今年的春节恐怕没法像往常那么热闹，相关部门也发布了紧急通知：
1月23日，教育部发布通知，要求教育系统做好新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控应急预案工作。武汉、上海等地，相关高校相继发布推迟开学通知。1月26日，国务院办公厅发布关于延长2020年春节假期的通知。1月26日，北京市教委发布北京高校延期开学通知。
小编提醒，在做好防护措施的同时，减少聚会活动，不传谣，不造谣，向周围人普及正确防护知识。出现疑似感染情况，听从医护人员安排，积极配合隔离观察。
小编在这里向大家揭秘窗花图案的规律，也希望大家响应号召，自觉“宅”在家健康平安地度过春节，剪剪窗花是不错的选择哦~也许你也可以创造更多有意思的窗花图案。
平安过春节，打赢这场没有硝烟的战争，我们一起努力！
参考文献：
[1] 吴忠良. 中国剪纸新编[M]. 上海: 上海远东出版社, 2013.
[2] What Is Symmetry? - Livescience
[3] 中国科学院大学研究生课程“固体物理（专业班）” PPT.
[4] 曹则贤. 晶体几何系列之一, 晶体的点群与空间群[J]. 物理, 2019, 48(02):50-53.
[5] Quasicrystal - Wikipedia
[6] 中国科学院大学研究生课程 “材料化学” PPT.
[7] 窗花 - 百度
[8] 刘益宏. 幼儿剪纸大全[M]. 南昌: 江西美术出版社, 2014.
[9] 中国科学院大学研究生课程 “X射线晶体学” PPT.
编辑：Kun
